M1 · Électrocinétique du sinusoïdal

C’est le module qui transforme l’apprenant : on quitte la résistance pure pour entrer dans le monde où la tension et le courant ne sont plus en phase, où la puissance instantanée oscille, où l’on facture de l’énergie active mais où le câble doit supporter de la puissance apparente. Tout dimensionnement ultérieur en dépend : courant absorbé d’un moteur, choix d’un calibre de disjoncteur, sections, chute de tension, équilibrage triphasé, compensation d’énergie réactive industrielle. À la fin, on doit pouvoir tracer un triangle des puissances sans hésiter.

Objectifs de fin de module

À l’issue de ce module, je suis capable de :

Décrire un signal sinusoïdal par son amplitude, sa pulsation, sa fréquence, sa phase à l’origine ; passer de l’un à l’autre.
Calculer la valeur efficace d’un signal sinusoïdal et expliquer pourquoi c’est elle qui apparaît sur le multimètre en mode AC.
Identifier le déphasage entre tension et courant d’un dipôle et reconnaître son signe (avance / retard, capacitif / inductif).
Calculer l’impédance $Z$ d’un dipôle linéaire élémentaire (R, L, C) à 50 Hz et en déduire le module et la phase.
Distinguer puissance active $P$ (W), réactive $Q$ (var) et apparente $S$ (VA), et tracer le triangle des puissances.
Définir le facteur de puissance $\cos\varphi$ et expliquer son impact sur l’intensité absorbée pour une puissance utile donnée.
Appliquer ces notions à un appareil résidentiel typique (moteur de PAC, LED à driver, plaque à induction) et estimer l’intensité réellement appelée.

Concepts clés

Concept	Définition courte	Unité
Pulsation $\omega$	Vitesse angulaire du sinus, $\omega = 2\pi f$	rad/s
Phase à l’origine $\varphi_0$	Décalage du sinus à $t = 0$	rad
Déphasage $\varphi$	Décalage angulaire entre $u(t)$ et $i(t)$	rad
Valeur efficace (RMS)	Tension/intensité continue équivalente en dissipation	V, A
Impédance $Z$	Généralisation complexe de la résistance en régime sinusoïdal	$\Omega$
Réactance $X$	Partie imaginaire de l’impédance	$\Omega$
Résistance $R$	Partie réelle de l’impédance	$\Omega$
Puissance active $P$	Puissance « utile » convertie en chaleur/travail	watt (W)
Puissance réactive $Q$	Puissance qui circule sans être dissipée (champs L/C)	var
Puissance apparente $S$	Produit des valeurs efficaces, vu par le câble	VA
Facteur de puissance	$k = P / S = \cos\varphi$ en sinusoïdal pur	sans dimension
Charge inductive	Courant en retard sur la tension ( $\varphi > 0$ )	—
Charge capacitive	Courant en avance sur la tension ( $\varphi < 0$ )	—

Exigences NF C 15-100 mobilisées

Ce module est essentiellement théorique, mais il sous-tend des exigences chiffrées de la norme reprises plus tard :

Le dimensionnement des conducteurs (M6) s’appuie sur le courant d’emploi $I_B$ , qui est l’intensité efficace réellement absorbée — pas la puissance nominale divisée par la tension de façon naïve.
La chute de tension maximale réglementaire (3 % éclairage, 5 % autres usages) est calculée en valeurs efficaces.
Le facteur de simultanéité appliqué à un tableau (M10) s’applique à des puissances apparentes, pas à des actives.

Aucune section précise de la NF C 15-100 n’est citée ici ; elles seront mobilisées lorsqu’on calculera concrètement (M6, M10, M11).

Cours

1. Le signal sinusoïdal — paramètres et représentations

Un signal sinusoïdal de tension s’écrit :

u(t) = U_\text{max} \cdot \sin(\omega t + \varphi_0)

avec :

$U_\text{max}$ : amplitude (valeur crête), en volts.
$\omega = 2 \pi f$ : pulsation, en rad/s.
$f$ : fréquence en hertz. Pour le réseau France, $f = 50 \text{ Hz}$ .
$\varphi_0$ : phase à l’origine, en radians.

Période et fréquence

T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}

À 50 Hz, la période vaut $T = 20 \text{ ms}$ . La tension réseau passe par zéro toutes les 10 ms et par son maximum positif toutes les 20 ms. C’est cette régularité que les protections AC exploitent pour couper sans former d’arc durable.

Valeur efficace (rappel M0, approfondissement)

La valeur efficace d’un signal périodique $x(t)$ de période $T$ est définie par :

X_\text{eff} = \sqrt{ \frac{1}{T} \int_0^T x(t)^2 \, dt }

Pour un sinus pur d’amplitude $X_\text{max}$ , le calcul donne :

X_\text{eff} = \frac{X_\text{max}}{\sqrt{2}}

C’est la valeur efficace qu’affiche un multimètre en mode AC (en True RMS pour les bons modèles ; les modèles d’entrée de gamme supposent une forme sinusoïdale pure, ce qui est faux pour de nombreuses charges électroniques modernes — point à reprendre en M14).

Toutes les grandeurs AC du programme seront, sauf mention contraire, exprimées en valeur efficace : « $230 \text{ V}$ », « $16 \text{ A}$ », « $4{,}6 \text{ kW}$ » sont des efficaces.

Représentation de Fresnel

À fréquence fixée (50 Hz pour nous), un signal sinusoïdal est entièrement caractérisé par deux nombres : sa valeur efficace et sa phase. On le représente par un vecteur tournant (phaseur) de longueur $X_\text{eff}$ et d’angle $\varphi_0$ , dans un plan appelé diagramme de Fresnel.

Cette représentation transforme la trigonométrie en géométrie plane : additionner deux sinusoïdes de même fréquence revient à additionner deux vecteurs. C’est l’outil graphique de référence pour comprendre le triphasé (M11).

2. Déphasage : courant en retard ou en avance

Quand on alimente un dipôle quelconque par $u(t) = U_\text{max} \sin(\omega t)$ , le courant qui le traverse s’écrit en régime établi :

i(t) = I_\text{max} \sin(\omega t - \varphi)

$\varphi$ est le déphasage de la tension par rapport au courant, positif si le courant est en retard.

Résistance pure ( $R$ ) : $\varphi = 0$ . Le courant suit la tension instant par instant.
Inductance pure ( $L$ ) : $\varphi = +\pi/2$ . Le courant est en retard de 90° sur la tension. C’est le cas idéal d’une bobine parfaite ; en pratique, tous les enroulements (moteurs, ballasts, transformateurs) sont inductifs avec $0 < \varphi < \pi/2$ .
Condensateur pur ( $C$ ) : $\varphi = -\pi/2$ . Le courant est en avance de 90° sur la tension. Les batteries de compensation sont capacitives, à dessein.

Mnémonique courante : « CIVIL ». C (avant) I (courant) V (tension) avant I L — en capacitif, $I$ est avant $V$ ; en inductif, $V$ est avant $I$ .

3. Impédance — l’Ohm complexe

Définition

L’impédance $Z$ d’un dipôle linéaire en régime sinusoïdal généralise la résistance :

\underline{U} = \underline{Z} \cdot \underline{I}

où le soulignement indique des grandeurs complexes (phaseurs). Le module $|Z|$ relie les valeurs efficaces ( $U_\text{eff} = |Z| \cdot I_\text{eff}$ ) et l’argument donne le déphasage.

| Dipôle | Impédance complexe | Module $|Z|$ | |--------|--------------------|--------------:| | Résistance $R$ | $R$ | $R$ | | Inductance $L$ | $j L \omega$ | $L \omega$ | | Condensateur $C$ | $\dfrac{1}{j C \omega}$ | $\dfrac{1}{C \omega}$ |

Cas pratiques à 50 Hz

À $f = 50 \text{ Hz}$ , $\omega = 2\pi \cdot 50 \approx 314 \text{ rad/s}$ .

Une bobine de $L = 0{,}1 \text{ H}$ présente une réactance $X_L = L\omega = 0{,}1 \times 314 = 31{,}4 \, \Omega$ .
Un condensateur de $C = 10 \text{ µF}$ présente une réactance $X_C = 1 / (C\omega) = 1 / (10 \cdot 10^{-6} \times 314) \approx 318 \, \Omega$ .

Association série RL (modèle d’un enroulement réel)

Un moteur ou un transformateur se modélise en première approximation par une résistance $R$ (cuivre des bobinages) en série avec une inductance $L$ (fer magnétique) :

\underline{Z} = R + j L \omega \qquad |Z| = \sqrt{R^2 + (L\omega)^2} \qquad \tan \varphi = \frac{L\omega}{R}

Exemple : moteur monophasé 230 V, $R = 5 \, \Omega$ , $L = 25 \text{ mH}$ .

X_L = 0{,}025 \times 314 \approx 7{,}85 \, \Omega

|Z| = \sqrt{5^2 + 7{,}85^2} \approx 9{,}3 \, \Omega

I_\text{eff} = \frac{230}{9{,}3} \approx 24{,}7 \text{ A}

\varphi = \arctan(7{,}85 / 5) \approx 57{,}5^\circ \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi \approx 0{,}54

Ce $\cos\varphi$ faible explique pourquoi un moteur appelle, à puissance utile constante, plus d’intensité qu’on ne le croit si on raisonne sur sa seule puissance plaque (active).

4. Puissances : active, réactive, apparente

Décomposition

En régime sinusoïdal, la puissance instantanée $p(t) = u(t) \cdot i(t)$ oscille au double de la fréquence du réseau. Sa moyenne sur une période est la puissance active :

P = U_\text{eff} \cdot I_\text{eff} \cdot \cos\varphi \qquad \text{en watts (W)}

C’est la puissance « utile », celle qui se transforme en chaleur, en travail mécanique, en lumière. C’est elle qui est facturée.

On définit également :

La puissance réactive $Q = U_\text{eff} \cdot I_\text{eff} \cdot \sin\varphi$ en var (volt-ampère réactif). Elle correspond à l’énergie qui fait des allers-retours entre la source et les éléments inductifs ou capacitifs sans être consommée. Positive si la charge est inductive, négative si capacitive.
La puissance apparente $S = U_\text{eff} \cdot I_\text{eff}$ en VA (volt-ampère). C’est la puissance « vue par le câble » : c’est elle qui dicte l’échauffement des conducteurs et le calibrage du transformateur d’alimentation.

Le triangle des puissances

Ces trois grandeurs forment un triangle rectangle :

S^2 = P^2 + Q^2

\cos\varphi = \frac{P}{S} \qquad \sin\varphi = \frac{Q}{S} \qquad \tan\varphi = \frac{Q}{P}

        S (VA)
        /|
       / |
      /  | Q (var)
     /   |
    /φ___|
       P (W)

Facteur de puissance

En régime sinusoïdal pur :

k = \frac{P}{S} = \cos\varphi

À puissance active $P$ donnée et tension $U$ fixée, l’intensité absorbée vaut :

I = \frac{P}{U \cdot \cos\varphi}

Plus $\cos\varphi$ est faible, plus on tire de courant pour la même puissance utile. C’est pour cela que l’abonnement Enedis en triphasé est exprimé en kVA, pas en kW.

5. Applications à un cas résidentiel

Cas 1 — résistif pur. Un convecteur électrique 2000 W, 230 V. Pas de bobinage, pas de déphasage : $\cos\varphi = 1$ .

I = \frac{2000}{230 \times 1} \approx 8{,}7 \text{ A}

Câblage 2,5 mm², protection 16 A (cf. M5/M6). $S = P = 2000 \text{ VA}$ .

Cas 2 — inductif marqué. Moteur 230 V de PAC, $P_\text{utile}$ plaque = 1500 W, rendement 0,85, $\cos\varphi = 0{,}80$ .

P_\text{absorbée} = \frac{1500}{0{,}85} \approx 1765 \text{ W}

S = \frac{P_\text{absorbée}}{\cos\varphi} = \frac{1765}{0{,}80} \approx 2200 \text{ VA}

I = \frac{S}{U} = \frac{2200}{230} \approx 9{,}6 \text{ A}

Soit 10 % de courant en plus que ce qu’aurait laissé deviner la seule puissance plaque. Cumulé sur plusieurs moteurs, la différence sur le dimensionnement du tableau peut être substantielle.

Cas 3 — courant d’appel. Au démarrage, un moteur appelle 5 à 8 fois son courant nominal pendant quelques dizaines de millisecondes. C’est ce qui dicte le choix d’une courbe C ou D pour le disjoncteur de protection (M5), et non sa seule intensité en régime établi.

Vidéos sélectionnées

Source	Sujet couvert	Durée
FUN-MOOC — CentraleSupélec, semaine 2 « Régime sinusoïdal et phaseurs »	Représentation de Fresnel, valeur efficace, déphasage	~50 min
Sila Elec — « Comprendre le déphasage et le cos φ »	Notion de déphasage, exemples résidentiels, mesure	~18 min
Stéphane Maurel — « Puissances active, réactive, apparente »	Triangle des puissances, lecture d’étiquette moteur	~25 min
Energy Form — « Impédance et loi d’Ohm en régime sinusoïdal »	Impédance complexe, R/L/C, exemples chiffrés	~30 min
Falstad Circuit Simulator (page d’exemples « AC sweep »)	Visualisation interactive d’un circuit RL alimenté en AC	libre

Méthode : visionner avec un cahier ouvert, recopier au moins un diagramme de Fresnel et un triangle des puissances par vidéo.

Étude de cas — manoir

Livrable attendu : à partir de l’inventaire du M0, convertir chaque équipement en une fiche avec :

Type de charge (résistif / inductif / électronique à découpage).
Puissance plaque (W).
$\cos\varphi$ estimé : 1,0 pour un convecteur ou une résistance ; 0,8 à 0,9 pour un moteur ; 0,9 à 0,95 pour un appareil moderne à PFC ; à défaut, consulter la plaque signalétique.
Puissance apparente $S$ et intensité $I_B$ recalculées.
Mode de calcul : noté pour pouvoir refaire le raisonnement au M6 (dimensionnement câble).

Cible : produire une table consolidée (un fichier dossier-manoir/M1-charges.md) avec au minimum les charges majeures : PAC, plaque, four, plancher chauffant, sèche-linge, ECS, éclairage général, prises de service par pièce. Cette table sera la base du calcul de bilan de puissance du M10.

Travaux pratiques sur le banc d’essai

Simulation Falstad — circuit RL série. Ouvrir le simulateur, construire un circuit : source AC 24 V eff. 50 Hz, $R = 10 \, \Omega$ , $L = 50 \text{ mH}$ . Afficher simultanément $u(t)$ et $i(t)$ avec l’oscilloscope intégré. Mesurer le déphasage en lisant le décalage temporel entre deux passages par zéro et le convertir en degrés. Vérifier la cohérence avec $\varphi = \arctan(L\omega / R)$ .
Simulation Falstad — circuit RC série. Même protocole, en remplaçant l’inductance par un condensateur de 100 µF. Vérifier que le courant est en avance sur la tension. Calculer $\varphi = -\arctan(1 / (RC\omega))$ et comparer.
TP physique — mesure du cos φ d’une bobine à TBTS. Sur banc isolé : alimenter une petite bobine 24 V (ou tout enroulement de transformateur démonté) à travers une résistance connue. Mesurer $U$ , $I$ , et la puissance $P$ à l’aide d’un wattmètre numérique (ou d’un module wattmètre à base de ESP32 + INA226 si disponible). En déduire $\cos\varphi = P / (U \cdot I)$ . Vérifier par calcul à partir de l’impédance théorique.
Lecture d’étiquettes. Photographier les plaques signalétiques d’au moins 3 appareils du manoir ou du domicile (PAC, lave-linge, moteur de portail, transformateur de cloche, etc.). Pour chacune, relever : tension, puissance, intensité, $\cos\varphi$ , courant de démarrage si indiqué. Vérifier la cohérence des chiffres par le calcul $I = P / (U \cos\varphi)$ .
Construction du triangle des puissances. À partir des données du TP 4, tracer à la main le triangle des puissances pour chacun des 3 appareils. Conserver les croquis dans le classeur : ils serviront de référence visuelle lors du M5 (choix de courbes de disjoncteurs) et du M10 (bilan).
Journal de TP. Consigner les écarts mesure / calcul, et formuler une hypothèse pour chaque écart > 10 % (résistance parasite, harmoniques, tolérance composant).

Quiz de validation

Seuil : 80 %. Comme pour tout module à fort contenu de calcul, en cas d’échec, refaire les calculs des cas pratiques à la main avant de retenter, plutôt que relire passivement le cours.

Fiche de synthèse

FORMATION ÉLECTRICITÉ — M1 — Fiche de synthèse
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SIGNAL SINUSOÏDAL
  u(t) = U_max · sin(ω·t + φ₀)
  ω = 2π·f         (rad/s)     [50 Hz → 314 rad/s]
  T = 1/f           = 20 ms à 50 Hz
  U_eff = U_max / √2            [230 V eff → 325 V crête]

DÉPHASAGE
  R pur : φ = 0
  L pur : φ = +π/2  (I en RETARD)
  C pur : φ = -π/2  (I en AVANCE)
  Mnémonique CIVIL : Capacitif → I avant V · Inductif → V avant I (L)

IMPÉDANCE
  R         : Z = R
  L         : Z = jLω          | |Z| = Lω
  C         : Z = 1/(jCω)      | |Z| = 1/(Cω)
  R+L série : |Z| = √(R² + (Lω)²)
              tan φ = Lω / R

PUISSANCES (régime sinusoïdal pur)
  P = U·I·cos φ        watt    (W)
  Q = U·I·sin φ        var
  S = U·I              VA
  S² = P² + Q²
  cos φ = P / S
  I = P / (U · cos φ)

RAPPEL FACTURATION
  Enedis abonnement en kVA (apparente) — pas en kW (active)
  Plus cos φ est faible → plus I est élevé pour la même P

ORDRES DE GRANDEUR cos φ
  Résistance pure (convecteur, ECS)      : 1,00
  Lampe LED moderne avec PFC             : 0,90 – 0,95
  Moteur asynchrone domestique chargé    : 0,80 – 0,85
  Moteur à vide                          : 0,30 – 0,50
  Ballast magnétique de tube fluo        : 0,50

Au M5 (protections) et au M10 (tableau), cette fiche sera reprise en binôme avec la fiche M0 pour calculer en parallèle $I_B$ , la chute de tension et le choix du disjoncteur. À garder à portée de main.